---
title: "คณิตศาสตร์ซูโดกุ: ตารางและคำใบ้ 17 ตัว | Sudoku Flow"
description: "ตัวเลขซูโดกุ: ตารางสมบูรณ์ 6,670,903,752,021,072,936,960 แบบ ต่างกันโดยสาระสำคัญ 5,472,730,538 แบบ ขั้นต่ำ 17 ตัวเลขที่ให้มา และการระบายสีกราฟ"
url: https://sudokuflow.com/th/encyclopedia/math/
language: th
last_modified: 2026-10-05
---

[สารานุกรมซูโดกุ](https://sudokuflow.com/th/encyclopedia/) · คณิตศาสตร์และคอมพิวเตอร์

# คณิตศาสตร์ของซูโดกุ

อัปเดตเมื่อ 2026-10-05

## คำตอบสั้น ๆ

ตารางซูโดกุขนาด 9×9 สามารถเติมให้ครบและถูกต้องได้ 6,670,903,752,021,072,936,960 แบบ โดยมี 5,472,730,538 แบบที่แตกต่างกันโดยสาระสำคัญ โจทย์ที่มีคำตอบเดียวพอดีต้องมีตัวเลขที่ให้มาอย่างน้อย 17 ตัว การแก้ซูโดกุคือการต่อเติมจากตัวเลขที่ให้มาให้เป็นการระบายสีกราฟที่มีจุด 81 จุดด้วยสี 9 สี

## จัตุรัสละตินที่มีบล็อก

ในจัตุรัสละติน แต่ละสัญลักษณ์ปรากฏเพียงครั้งเดียวในแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์ ซูโดกุที่เติมครบแล้วเป็นจัตุรัสละตินขนาด 9 ที่มีเงื่อนไขเพิ่มอีกข้อหนึ่ง: แต่ละบล็อกขนาด 3×3 ทั้งเก้าบล็อกต้องมีตัวเลขแต่ละตัวอย่างละหนึ่งครั้งด้วย

แหล่งข้อมูล: [Wikipedia: Latin square](https://en.wikipedia.org/wiki/Latin_square)

## มีตารางทั้งหมดกี่แบบ

แบร์ทรัม เฟลเกนเฮาเออร์ (Bertram Felgenhauer) และเฟรเซอร์ จาร์วิส (Frazer Jarvis) นับตารางขนาด 9×9 ที่เติมครบแล้วในปี ค.ศ. 2005 พบว่ามี 6,670,903,752,021,072,936,960 แบบ หรือประมาณ 6.67 × 10²¹ หลายแบบเป็นตารางเดียวกันที่แปลงรูปไป หากนับสองตารางเป็นแบบเดียวกันเมื่อสามารถแปลงตารางหนึ่งให้เป็นอีกตารางได้ด้วยการสลับตัวเลขแทนกัน การหมุนหรือสะท้อน หรือการจัดลำดับแถวและคอลัมน์ใหม่ด้วยวิธีที่ยังรักษาความถูกต้องของตาราง จะเหลือตารางที่แตกต่างกันโดยสาระสำคัญ 5,472,730,538 แบบ จำนวนนี้คำนวณโดยเอ็ด รัสเซลล์ (Ed Russell) และเฟรเซอร์ จาร์วิส

แหล่งข้อมูล: [Felgenhauer and Jarvis, Enumerating possible Sudoku grids (2005)](https://www.semanticscholar.org/paper/Enumerating-possible-Sudoku-grids-Felgenhauer-Jarvis/0ea50870ff4968425f984f03f99748a0e2d1553d), [OEIS A107739: number of Sudoku grids](https://oeis.org/A107739), [Wikipedia: Mathematics of Sudoku](https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_Sudoku)

## คำใบ้ขั้นต่ำ 17 ตัว

ไม่มีซูโดกุมาตรฐานขนาด 9×9 ที่มีตัวเลขที่ให้มาไม่เกิน 16 ตัวแล้วมีคำตอบเดียวพอดี แกรี แมกไกวร์ (Gary McGuire), บาสเตียน ทูเกอมันน์ (Bastian Tugemann) และฌีล ซีวาริโอ (Gilles Civario) แสดงผลนี้ด้วยการค้นหาครบทุกกรณีด้วยคอมพิวเตอร์ และประกาศผลในเดือนมกราคม ค.ศ. 2012 จำนวน 17 ตัวเป็นขั้นต่ำ ไม่ใช่การรับประกัน: ตารางจำนวนมากที่มีตัวเลขที่ให้มา 17 ตัวยังมีมากกว่าหนึ่งคำตอบ

แหล่งข้อมูล: [McGuire, Tugemann and Civario, There is no 16-Clue Sudoku (arXiv 1201.0749)](https://arxiv.org/abs/1201.0749)

## ซูโดกุในรูปของการระบายสีกราฟ

วาดจุดหนึ่งจุดแทนแต่ละช่องจากทั้งหมด 81 ช่อง แล้วเชื่อมจุดสองจุดเมื่อช่องของจุดคู่นั้นอยู่ในแถว คอลัมน์ หรือบล็อกเดียวกัน กราฟซูโดกุนี้มีเส้นเชื่อม 810 เส้น และทุกจุดมีจุดข้างเคียง 20 จุดพอดี การแก้ปริศนาคือการเติมสีต่อจากสีที่ตัวเลขที่ให้มากำหนดไว้ โดยจุดที่เชื่อมกันต้องไม่ใช้สีเดียวกัน ต้องใช้สีอย่างน้อยเก้าสี เพราะแต่ละแถว คอลัมน์ และบล็อกเป็นกลุ่มจุดเก้าจุดที่เชื่อมถึงกันทุกคู่ และตารางใด ๆ ที่เติมครบแล้วก็แสดงให้เห็นว่าเก้าสีเพียงพอ

แหล่งข้อมูล: [Wikipedia: Sudoku graph](https://en.wikipedia.org/wiki/Sudoku_graph)

## ยากในกรณีทั่วไป แต่รวดเร็วสำหรับ 9×9

สำหรับตารางซูโดกุที่ขยายขนาดได้อย่างไม่จำกัด (n²×n² โดยมีบล็อกขนาด n×n) การตัดสินว่าตารางที่เติมไว้บางส่วนสามารถเติมจนสมบูรณ์ได้หรือไม่เป็นปัญหา NP-complete ผลนี้เผยแพร่โดยทากายูกิ ยาโตะ (Takayuki Yato) และทากาฮิโระ เซตะ (Takahiro Seta) ในปี ค.ศ. 2003 โดยทั่วไปโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่มีประสิทธิภาพแก้โจทย์ขนาด 9×9 ทั่วไปได้ในเวลาเพียงเสี้ยววินาที แต่เวลาที่ใช้ขึ้นอยู่กับโปรแกรม คอมพิวเตอร์ และโจทย์

แหล่งข้อมูล: [Wikipedia: Mathematics of Sudoku](https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_Sudoku), [Wikipedia: Sudoku solving algorithms](https://en.wikipedia.org/wiki/Sudoku_solving_algorithms), [Peter Norvig: Solving Every Sudoku Puzzle](https://www.norvig.com/sudoku.html)

## ดูเพิ่มเติม

- [เรื่องน่ารู้ซูโดกุ](https://sudokuflow.com/th/guides/sudoku-facts/)
- [ซูโดกุแต่ละระดับต้องใช้ทักษะอะไรบ้าง](https://sudokuflow.com/th/data/sudoku-difficulty-levels/)

## Related articles

- [คอมพิวเตอร์แก้ซูโดกุอย่างไร](https://sudokuflow.com/th/encyclopedia/computers/)
- [อธิบายกติกาซูโดกุ](https://sudokuflow.com/th/encyclopedia/rules/)
- [รูปแบบต่าง ๆ ของซูโดกุ: Killer, Jigsaw, Diagonal, Samurai และอื่น ๆ](https://sudokuflow.com/th/encyclopedia/variants/)

## แหล่งข้อมูล

- [Wikipedia: Latin square](https://en.wikipedia.org/wiki/Latin_square)
- [Felgenhauer and Jarvis, Enumerating possible Sudoku grids (2005)](https://www.semanticscholar.org/paper/Enumerating-possible-Sudoku-grids-Felgenhauer-Jarvis/0ea50870ff4968425f984f03f99748a0e2d1553d)
- [OEIS A107739: number of Sudoku grids](https://oeis.org/A107739)
- [Wikipedia: Mathematics of Sudoku](https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_Sudoku)
- [McGuire, Tugemann and Civario, There is no 16-Clue Sudoku (arXiv 1201.0749)](https://arxiv.org/abs/1201.0749)
- [Wikipedia: Sudoku graph](https://en.wikipedia.org/wiki/Sudoku_graph)
- [Wikipedia: Sudoku solving algorithms](https://en.wikipedia.org/wiki/Sudoku_solving_algorithms)
- [Peter Norvig: Solving Every Sudoku Puzzle](https://www.norvig.com/sudoku.html)

[บทความทั้งหมด →](https://sudokuflow.com/th/encyclopedia/)

![ไอคอนแอปซูโดกุ](https://sudokuflow.com/assets/app-icon.png)

## อยากเล่นโจทย์แบบนี้เพิ่มอีกไหม?

ยังมีแอปซูโดกุสำหรับ iPhone, iPad, Mac และ Android จากผู้พัฒนาเดียวกัน ไม่มีโฆษณาเลย เล่นได้แบบออฟไลน์ และเมื่อขอคำใบ้ แอปจะแสดงเทคนิคให้ดูแทนการเติมตัวเลขให้เฉย ๆ

[App Store iPhone, iPad, Mac](https://apps.apple.com/app/apple-store/id6502922368?pt=125379530&ct=sudokuflow_web&mt=8) [Google Play Android](https://play.google.com/store/apps/details?id=com.rubigogames.sudoku&referrer=utm_source%3Dsudokuflow%26utm_medium%3Dweb%26utm_campaign%3Dsite)

Sudoku Flow สร้างโดย Rubigo Games ผู้พัฒนาแอปซูโดกุที่แนะนำบนเว็บไซต์นี้