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title: "數獨的數學：方格數目與17個提示數 | Sudoku Flow"
description: "以數字看數獨：完成的方格共有6,670,903,752,021,072,936,960個，其中5,472,730,538個本質上不同；另有17個提示數的下限與圖著色。"
url: https://sudokuflow.com/zh-hant-hk/encyclopedia/math/
language: zh-Hant-HK
last_modified: 2026-10-05
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[數獨百科](https://sudokuflow.com/zh-hant-hk/encyclopedia/) · 數學與電腦

# 數獨的數學

更新於2026-10-05

## 快速解答

一個9×9數獨方格共有6,670,903,752,021,072,936,960種完全且正確的填法，其中5,472,730,538種本質上不同。恰好只有一個答案的謎題至少需要17個提示數。解一道數獨，就是把提示數延伸成一個有81個點的圖的9色著色。

## 帶有宮的拉丁方陣

在拉丁方陣中，每個符號在每一橫行和每一直列中各出現一次。完成的數獨是一個9階拉丁方陣，再加多一個條件：九個3×3宮各自亦包含每個數字各一次。

資料來源: [Wikipedia: Latin square](https://en.wikipedia.org/wiki/Latin_square)

## 方格有多少個

伯特倫·費根豪爾 (Bertram Felgenhauer) 和弗雷澤·賈維斯 (Frazer Jarvis) 於2005年計算出完成的9×9方格數目：共有6,670,903,752,021,072,936,960個，約為6.67 × 10²¹。其中許多其實是換了包裝的同一個方格。若一個方格能透過重新標記數字、旋轉或翻轉，或以保持方格有效的方式重新排列橫行和直列而變成另一個方格，就把兩者算作一個，這樣便剩下5,472,730,538個本質上不同的方格；這個數字由艾德·羅素 (Ed Russell) 和弗雷澤·賈維斯計算得出。

資料來源: [Felgenhauer and Jarvis, Enumerating possible Sudoku grids (2005)](https://www.semanticscholar.org/paper/Enumerating-possible-Sudoku-grids-Felgenhauer-Jarvis/0ea50870ff4968425f984f03f99748a0e2d1553d), [OEIS A107739: number of Sudoku grids](https://oeis.org/A107739), [Wikipedia: Mathematics of Sudoku](https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_Sudoku)

## 17個提示數的下限

提示數為16個或以下的標準9×9數獨，沒有一道恰好只有一個答案。加里·麥奎爾 (Gary McGuire)、巴斯蒂安·圖格曼 (Bastian Tugemann) 和吉勒·西瓦里奧 (Gilles Civario) 以窮舉式電腦搜尋證明了這一點，並於2012年1月公布結果。17是最少數目，而非保證：許多有17個提示數的方格仍然有多於一個答案。

資料來源: [McGuire, Tugemann and Civario, There is no 16-Clue Sudoku (arXiv 1201.0749)](https://arxiv.org/abs/1201.0749)

## 作為圖著色問題的數獨

為81個格子各畫一個點，凡兩個格子位於同一橫行、直列或宮，就把對應的兩點連起來。這個數獨圖共有810條連線，每個點都恰好有20個相鄰點。解謎題即是把提示數所固定的顏色延伸出去，使相連的點永不同色。至少需要九種顏色，因為每一橫行、直列和宮都是一組九個彼此相連的點；而任何一個完成的方格都顯示九種顏色已經足夠。

資料來源: [Wikipedia: Sudoku graph](https://en.wikipedia.org/wiki/Sudoku_graph)

## 一般而言很難，9×9則很快

對於可以無限擴大的數獨方格（宮為n×n的n²×n²方格），判斷一個部分填好的方格能否完成是NP完全問題，這是 Takayuki Yato 與 Takahiro Seta 於2003年發表的結果。高效的電腦程式通常能在零點幾秒內解出普通的9×9謎題，但所需時間取決於程式、電腦和謎題本身。

資料來源: [Wikipedia: Mathematics of Sudoku](https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_Sudoku), [Wikipedia: Sudoku solving algorithms](https://en.wikipedia.org/wiki/Sudoku_solving_algorithms), [Peter Norvig: Solving Every Sudoku Puzzle](https://www.norvig.com/sudoku.html)

## 另見

- [數獨知識](https://sudokuflow.com/zh-hant-hk/guides/sudoku-facts/)
- [每個數獨難度等級，要你懂甚麼](https://sudokuflow.com/zh-hant-hk/data/sudoku-difficulty-levels/)

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- [數獨變體：殺手、鋸齒、對角線、武士等](https://sudokuflow.com/zh-hant-hk/encyclopedia/variants/)

## 資料來源

- [Wikipedia: Latin square](https://en.wikipedia.org/wiki/Latin_square)
- [Felgenhauer and Jarvis, Enumerating possible Sudoku grids (2005)](https://www.semanticscholar.org/paper/Enumerating-possible-Sudoku-grids-Felgenhauer-Jarvis/0ea50870ff4968425f984f03f99748a0e2d1553d)
- [OEIS A107739: number of Sudoku grids](https://oeis.org/A107739)
- [Wikipedia: Mathematics of Sudoku](https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_Sudoku)
- [McGuire, Tugemann and Civario, There is no 16-Clue Sudoku (arXiv 1201.0749)](https://arxiv.org/abs/1201.0749)
- [Wikipedia: Sudoku graph](https://en.wikipedia.org/wiki/Sudoku_graph)
- [Wikipedia: Sudoku solving algorithms](https://en.wikipedia.org/wiki/Sudoku_solving_algorithms)
- [Peter Norvig: Solving Every Sudoku Puzzle](https://www.norvig.com/sudoku.html)

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