--- title: "數獨的數學：盤面數量與17個提示數 | Sudoku Flow" description: "用數字認識數獨：6,670,903,752,021,072,936,960種完整盤面、5,472,730,538種本質不同的盤面、17個提示數的下限，以及圖著色。" url: https://sudokuflow.com/zh-hant-tw/encyclopedia/math/ language: zh-Hant-TW last_modified: 2026-10-05 --- [數獨百科全書](https://sudokuflow.com/zh-hant-tw/encyclopedia/) · 數學與電腦運算 # 數獨的數學 更新日期：2026-10-05 ## 簡要解答 9×9數獨盤面共有6,670,903,752,021,072,936,960種完整且正確的填法，其中5,472,730,538種在本質上互不相同。恰有一個解的題目至少需要17個提示數。解數獨相當於將提示數延伸為一張含81個頂點的圖的9色著色。 ## 加上宮的拉丁方陣 在拉丁方陣中，每個符號在每一橫列和每一直行中都恰好出現一次。完成的數獨是一個9階拉丁方陣，另加一項條件：9個3×3宮中的每一宮，也必須讓每個數字恰好出現一次。 資料來源: [Wikipedia: Latin square](https://en.wikipedia.org/wiki/Latin_square) ## 盤面共有多少種 伯特拉姆·費爾根豪爾（Bertram Felgenhauer）與弗雷澤·賈維斯（Frazer Jarvis）於2005年計算出完整9×9盤面的數量：共有6,670,903,752,021,072,936,960種，約為6.67 × 10²¹。其中許多其實是同一盤面的不同呈現方式。如果能透過重新標記數字、旋轉、鏡射，或以維持盤面有效的方式重新排列橫列與直行，將一個盤面變成另一個，就將兩者視為同一種；如此便剩下5,472,730,538種本質上不同的盤面，這個數字由艾德·羅素（Ed Russell）與弗雷澤·賈維斯計算得出。 資料來源: [Felgenhauer and Jarvis, Enumerating possible Sudoku grids (2005)](https://www.semanticscholar.org/paper/Enumerating-possible-Sudoku-grids-Felgenhauer-Jarvis/0ea50870ff4968425f984f03f99748a0e2d1553d), [OEIS A107739: number of Sudoku grids](https://oeis.org/A107739), [Wikipedia: Mathematics of Sudoku](https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_Sudoku) ## 至少17個提示數 任何只有16個或更少提示數的標準9×9數獨，都不會恰有一個解。蓋瑞·麥奎爾（Gary McGuire）、巴斯蒂安·圖格曼（Bastian Tugemann）與吉爾·西瓦里奧（Gilles Civario）透過窮盡式電腦搜尋證明了這點，並於2012年1月公布結果。17是下限，並非保證：許多有17個提示數的盤面仍有不只一個解。 資料來源: [McGuire, Tugemann and Civario, There is no 16-Clue Sudoku (arXiv 1201.0749)](https://arxiv.org/abs/1201.0749) ## 將數獨視為圖著色 為81個格子各畫一個頂點，只要兩個格子位於同一橫列、直行或宮，就將對應的兩個頂點相連。這張數獨圖共有810條邊，每個頂點都恰有20個相鄰頂點。解題相當於延伸提示數已固定的顏色，使相連的頂點顏色都不同。至少需要9種顏色，因為每一橫列、直行和宮都是由9個彼此全部相連的頂點組成，而任何完整盤面都能顯示9種顏色已經足夠。 資料來源: [Wikipedia: Sudoku graph](https://en.wikipedia.org/wiki/Sudoku_graph) ## 一般情況困難，9×9卻能快速求解 對於大小可無限增加的數獨盤面，即每宮為n×n、整體為n²×n²的盤面，判定部分填入數字的盤面能否完成，是一個NP完全問題。這項結果由八登崇之（Takayuki Yato）與瀨田剛廣（Takahiro Seta）於2003年發表。高效率的電腦程式通常能在不到1秒內解出一般9×9題目，不過所需時間取決於程式、電腦與題目。 資料來源: [Wikipedia: Mathematics of Sudoku](https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_Sudoku), [Wikipedia: Sudoku solving algorithms](https://en.wikipedia.org/wiki/Sudoku_solving_algorithms), [Peter Norvig: Solving Every Sudoku Puzzle](https://www.norvig.com/sudoku.html) ## 另請參閱 - [數獨知識](https://sudokuflow.com/zh-hant-tw/guides/sudoku-facts/) - [各種數獨難度需要哪些能力](https://sudokuflow.com/zh-hant-tw/data/sudoku-difficulty-levels/) ## Related articles - [電腦如何解數獨](https://sudokuflow.com/zh-hant-tw/encyclopedia/computers/) - [數獨規則解說](https://sudokuflow.com/zh-hant-tw/encyclopedia/rules/) - [數獨變體：殺手、拼圖、對角線、武士數獨等](https://sudokuflow.com/zh-hant-tw/encyclopedia/variants/) ## 資料來源 - [Wikipedia: Latin square](https://en.wikipedia.org/wiki/Latin_square) - [Felgenhauer and Jarvis, Enumerating possible Sudoku grids (2005)](https://www.semanticscholar.org/paper/Enumerating-possible-Sudoku-grids-Felgenhauer-Jarvis/0ea50870ff4968425f984f03f99748a0e2d1553d) - [OEIS A107739: number of Sudoku grids](https://oeis.org/A107739) - [Wikipedia: Mathematics of Sudoku](https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_Sudoku) - [McGuire, Tugemann and Civario, There is no 16-Clue Sudoku (arXiv 1201.0749)](https://arxiv.org/abs/1201.0749) - [Wikipedia: Sudoku graph](https://en.wikipedia.org/wiki/Sudoku_graph) - [Wikipedia: Sudoku solving algorithms](https://en.wikipedia.org/wiki/Sudoku_solving_algorithms) - [Peter Norvig: Solving Every Sudoku Puzzle](https://www.norvig.com/sudoku.html) [所有文章 →](https://sudokuflow.com/zh-hant-tw/encyclopedia/) ![數獨應用程式圖示](https://sudokuflow.com/assets/app-icon.png) ## 想玩更多這樣的題目嗎？ 我們也開發了適用於 iPhone、iPad、Mac 和 Android 的數獨應用程式。程式完全沒有廣告，不需網路也能玩，而且使用提示時，會示範解題技巧，而不只是填入一個數字。 [App Store iPhone, iPad, Mac](https://apps.apple.com/app/apple-store/id6502922368?pt=125379530&ct=sudokuflow_web&mt=8) [Google Play Android](https://play.google.com/store/apps/details?id=com.rubigogames.sudoku&referrer=utm_source%3Dsudokuflow%26utm_medium%3Dweb%26utm_campaign%3Dsite) Sudoku Flow 由本站推薦的數獨應用程式開發者 Rubigo Games 製作。