數獨的數學

更新日期：2026-10-05

加上宮的拉丁方陣

在拉丁方陣中，每個符號在每一橫列和每一直行中都恰好出現一次。完成的數獨是一個9階拉丁方陣，另加一項條件：9個3×3宮中的每一宮，也必須讓每個數字恰好出現一次。

盤面共有多少種

伯特拉姆·費爾根豪爾（Bertram Felgenhauer）與弗雷澤·賈維斯（Frazer Jarvis）於2005年計算出完整9×9盤面的數量：共有6,670,903,752,021,072,936,960種，約為6.67 × 10²¹。其中許多其實是同一盤面的不同呈現方式。如果能透過重新標記數字、旋轉、鏡射，或以維持盤面有效的方式重新排列橫列與直行，將一個盤面變成另一個，就將兩者視為同一種；如此便剩下5,472,730,538種本質上不同的盤面，這個數字由艾德·羅素（Ed Russell）與弗雷澤·賈維斯計算得出。

資料來源: Felgenhauer and Jarvis, Enumerating possible Sudoku grids (2005), OEIS A107739: number of Sudoku grids, Wikipedia: Mathematics of Sudoku

至少17個提示數

任何只有16個或更少提示數的標準9×9數獨，都不會恰有一個解。蓋瑞·麥奎爾（Gary McGuire）、巴斯蒂安·圖格曼（Bastian Tugemann）與吉爾·西瓦里奧（Gilles Civario）透過窮盡式電腦搜尋證明了這點，並於2012年1月公布結果。17是下限，並非保證：許多有17個提示數的盤面仍有不只一個解。

資料來源: McGuire, Tugemann and Civario, There is no 16-Clue Sudoku (arXiv 1201.0749)

將數獨視為圖著色

為81個格子各畫一個頂點，只要兩個格子位於同一橫列、直行或宮，就將對應的兩個頂點相連。這張數獨圖共有810條邊，每個頂點都恰有20個相鄰頂點。解題相當於延伸提示數已固定的顏色，使相連的頂點顏色都不同。至少需要9種顏色，因為每一橫列、直行和宮都是由9個彼此全部相連的頂點組成，而任何完整盤面都能顯示9種顏色已經足夠。

資料來源: Wikipedia: Sudoku graph

一般情況困難，9×9卻能快速求解

對於大小可無限增加的數獨盤面，即每宮為n×n、整體為n²×n²的盤面，判定部分填入數字的盤面能否完成，是一個NP完全問題。這項結果由八登崇之（Takayuki Yato）與瀨田剛廣（Takahiro Seta）於2003年發表。高效率的電腦程式通常能在不到1秒內解出一般9×9題目，不過所需時間取決於程式、電腦與題目。

資料來源: Wikipedia: Mathematics of Sudoku, Wikipedia: Sudoku solving algorithms, Peter Norvig: Solving Every Sudoku Puzzle

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